<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 3598-6000
          Caixa Postal 65149 -- CEP da Caixa Postal 01390-970
          Internet: ~,http:www.ftd.com.br~,
          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
<R+>
 Sumrio 

 Quarta Parte

 Unidade 4

 28 -- Resolvendo sistemas 
  de equaes do 2 
  grau ::::::::::::::::::::: 391 
 Tratando a informao 
  Interpretao de 
  grficos e tabelas ::::::: 402 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 406 

 Unidade 5

 Funo Polinomial do 1 
  Grau :::::::::::::::::::: 415 
 29 -- Sistema de 
  coordenadas 
  cartesianas :::::::::::::: 416 
 Aplicaes do sistema 
  cartesiano ::::::::::::::: 420 
 30 -- A noo de 
  funo ::::::::::::::::::: 436 
<p>
 Domnio e imagem de uma 
  funo ::::::::::::::::::: 453 
 31 -- A funo polinomial 
  do 1 grau :::::::::::::: 457 
 32 -- Grfico da funo 
  polinomial do 1 grau no 
  plano cartesiano ::::::::: 466 
 Tratando a informao ::::: 474 
 33 -- Zero da funo 
  polinomial do 1 grau ::: 479 
 34 -- Analisando o grfico 
  de uma funo polinomial 
  do 1 grau :::::::::::::: 481
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 488 

 Unidade 6

 Funo Polinomial do 2 
  Grau (ou Funo 
  Quadrtica) :::::::::::: 493 
 35 -- Funo polinomial do 
  2 grau (ou funo 
  quadrtica) ::::::::::::: 494 
 36 -- Grfico da funo 
  quadrtica ::::::::::::::: 505 
<p>
                             III
 Como construir o grfico de 
  uma funo quadrtica no 
  plano cartesiano ::::::::: 511 
 37 -- Zeros da funo 
  polinomial do 2 grau ::: 517 
 38 -- Estudando a 
  concavidade da 
  parbola ::::::::::::::::: 524 
 39 -- Ponto de mnimo e 
  ponto de mximo :::::::::: 526

<p>
<139> 
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+391>
 28 -- Resolvendo sistemas de 
  equaes do 2 grau 

  Veja as situaes a seguir. 

<R+>
 1- Constru um retngulo dobrando um arame de 6 metros de comprimento. Esse retngulo 
ficou com uma rea de 2 m2. Quais so as dimenses do retngulo que formei com esse 
pedao de arame? 
  Representando por x e por y as dimenses do retngulo, podemos escrever: 

 2x+2y=6 e xy=2 

 Ento, formamos o sistema: 
 2x+2y=6 e xy=2 :> x+y=3 e 
  xy=2
 Esse sistema  do 2 grau, pois na sua resoluo aparecer uma equao do 2 grau. 
  Para resolv-lo, usamos o mtodo da substituio. 
  Da primeira equao, temos: 
<p>
 x+y=3 
 x=3-y 
 Substituindo x pelo valor 3-y na segunda equao, temos: 
 xy=2 
 `(3-y`)y=2 
 3y-y2=2 
 -y2+3y-2=0 
 y2-3y+2=0 -- equao do 2 grau na incgnita y 
 a=1 b=-3 c=2 
 d=b2-4ac=`(-3`)2-4`(1`)
  `(2`)=9-8=1
 y=?-b+:-d*2a=?-`(-3`)+:-
  +:-1*2`(1`)=?3+:-1*2
 y=?3+1*2=42=2
 e
 y=?3-1*2=22=1

<140> 
 Determinamos, assim, os valores para a incgnita y. Como x=3-y, vamos determinar os valores da incgnita x: 
  Quando y=2, x=3-2=1. 
  Quando y=1, x=3-1=2. 
 Logo, temos como soluo do sistema os pares ordenados `(1,#b`) e `(2,#a`). 
  Assim, as dimenses do retngulo que constru com o pedao de arame so 1 m e 2 m. 

 2- Ao resolver um problema, Tho estabeleceu o sistema de equaes a seguir. 

 x2=6+xy e x+y=4 

 Quais os pares `(x,y`) que so a soluo desse sistema? 

 Da segunda equao, temos: 
 x+y=4 
 x=4-y 
 Substituindo, na outra equao, x pelo valor 4-y, temos: 
 x2=6+xy 
 `(4-y`)2=6+`(4-y`)y 
 16-8y+y2=6+4y-y2 
 y2+y2-8y-4y+16-6=0 
 2y2-12y+10=0 -- equao do 2 grau na incgnita y 
 y2-6y+5=0 -- simplificamos a equao 
<p>
 a=1 b=-6 c=5 
 d=b2-4ac=`(-6`)2-4`(1`)
  `(5`)=36-20=16
 y=?-b+:-d*2a=?-`(-6`)+:-
  +:-16*2`(1`)=?6+:-4*2
 y=?6+4*2=102=5
 e
 y=?6-4*2=22=1

 Assim, obtivemos os valores da incgnita y. 
  Como x=4-y, vamos determinar os valores da incgnita x: 
  Quando y=5, x=4-5=-1. 
  Quando y=1, x=4-1=3. 
 Logo, a soluo do sistema  dada pelos pares ordenados `(-1,#e`) e `(3,#a`). 

<141> 
 Exerccios 

 1. Resolver os seguintes sistemas de equaes nas incgnitas x e y. 
 a) x=2y e x+y2=35 
 b) x+y=9 e xy=14 
 c) x=5-2y e y2-7=-3x 
 d) x+y=4 e x2-xy=6 
<L>
 2. Sabendo que os pares `(x1,y1`) e `(x2,y2`) so as solues do sistema y=3-x e x2+y`(4-x`)=7, determine o valor de: 
 a) x1+x2 
 b) y1+y2 

 3. Considere o sistema de equaes a seguir. 

 y+x2-5x=3 e y-x=-2 

 Sendo `(x1,y1`) e `(x2,y2`) as solues desse sistema, 
calcule o valor de x1+y1+x2+
  +y2. 
 4. Determine dois nmeros inteiros e positivos 
tais que o produto entre eles seja 140, e a 
diferena entre eles seja 4. 
 5. A soma das reas dos quadrados a seguir  
52 cm2. Sabendo que a diferena entre as medidas 
dos lados desses quadrados  2 cm, calcule 
a rea de cada quadrado. 

<F->
      x
  !::::::::
  l        _
  l        _
x l        _
  l        _
  l        _
  h::::::::j

     y
  !:::::
  l     _
y l     _
  l     _
  h:::::j
<F+>

 6. Considere dois nmeros reais positivos x e 
y. Se voc dividir x por y, encontrar 3 como 
resultado. Sabendo que o quadrado do nmero 
y  igual ao nmero x aumentado de 10 unidades, 
quais so esses nmeros? 
 7. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], a rea do retngulo 
maior  45 cm2, enquanto a rea do retngulo 
menor  
<p>
  15 cm2. Calcule as medidas x e y indicadas. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 8. O piso de um galpo tem a forma retangular, 
e sua rea  96 m2. Se aumentarmos o 
comprimento do piso em 3 m e a largura em 
2 m, a rea do piso passa a ser de 150 m2. Calcule 
as dimenses originais do piso desse galpo. 
 9. Na figura a seguir, a rea da regio retangular 
maior  88 cm2, enquanto a regio retangular 
menor tem 54 cm2 de rea. Determine as 
medidas x e y indicadas. 

<p>
<F->
   !:::::::::::::::::
2 l                 _
   pcccccccccccccc  _
   l              _  _
   l              _  _
 x l              _  _
   l              _  _
   v--------------#--#
         y         2
<F+>

<142> 
 Brasil Real

 wr Geografia 

 1. "O Brasil envelhece"  o ttulo do grfico apresentado a seguir. Analise-o, pense a respeito 
das informaes nele contidas e, em seguida, responda s questes. 

<p>
 _`[{grfico adaptado_`]
 O Brasil envelhece

 Em 2020, a populao acima de 60 anos ter triplicado e a de jovens de at 15 anos diminudo (em %)

 1940
 At 15 anos: 42 
 Mais de 60 anos: 4

 1999
 At 15 anos: 30,3
 Mais de 60 anos: A

 2020
 At 15 anos: 24,3 
 Mais de 60 anos: B
 _`[{fim do grfico_`]
 
 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 26 jan. 2009. 

 a) Complete os valores A e B do grfico resolvendo a equao 
<p>
  x24-5x+24=0 (A e B so as razes)
 b) Analise o grfico e determine: 
 o o nmero de brasileiros com mais de 60 anos, em 1999, considerando a populao do pas 
estimada em 160.000.000 de habitantes; 
 o o nmero de brasileiros com mais de 60 anos, em 2020, supondo que a populao do Brasil 
seja, nessa poca, de 200 milhes de pessoas; 
 o a reduo percentual de jovens de at 15 anos, de 1940 at 2020; 
 o a provvel populao desses jovens, em 2020. 

<p>
 2. Analise o grfico a seguir. 

 _`[{grfico adaptado_`]
 Crescimento populacional 
  brasileiro (em %)
 1940 -- 1,5
 1950 -- 2,4
 1960 -- 3,0
 1970 -- 2,9
 1980 -- 2,5
 1990 -- 1,9
 2000 -- x

 Fonte: ~,www.ibge.gov.br~, 
  Acesso em: 26 jan. 2009.

 O grfico indica que de 1940 a 1960 ocorreu 
um acentuado crescimento da populao brasileira. 
A partir do ano de 1960, o crescimento 
apresentou queda nas dcadas seguintes. 
 a) A raiz positiva da equao x2+0,4x-3,2=0 
representa a taxa do crescimento populacional 
em 2000. Resolva essa equao 
<p>
  e descubra o valor, em %, dessa taxa. 
 b) Em qual perodo houve maior crescimento 
populacional no Brasil? 
 c) Em qual perodo houve maior queda do 
crescimento populacional no Brasil? 

 3. Depois de analisar as informaes dos grficos "O Brasil envelhece" e "Crescimento populacional 
brasileiro", escreva um pequeno texto expondo sua opinio a respeito do Brasil que voc 
encontrar na sua fase adulta. 

<143> 
 Tratando a informao 

 Interpretao de grficos e 
  tabelas 
<R->

  Quer ter uma vida saudvel, reduzindo em cerca de 40% o risco de doenas?  fcil: basta uma 
pequena dose diria de exerccios fsicos! 
  Analisando os grficos e a tabela a seguir, voc perceber que problemas cardiovasculares, diabetes 
e outras doenas podem estar relacionados  falta de atividade fsica, ou sedentarismo. 
  O esforo para se ter uma vida saudvel nem  to grande assim! Confirme, analisando as informaes 
a seguir. 

 _`[{grficos e tabela adaptados_`]
 Os males da inatividade
  O sedentarismo est relacionado a:
<R+>
 35% das mortes por problemas cardiovasculares
 32% das mortes por cncer de 
  colo
 35% das mortes por diabetes
<R->

 O corao e as pernas
  Conforme aumenta a atividade
fsica, diminui o risco de morte
por acidente cardiovascular.
  Veja em quanto:

 Reduo do risco
 37% -- Pouco ativo
 45% -- Ativo
 64% -- Muito ativo

 Perigo de vida
  O sedentarismo  um dos
principais fatores de risco 
sade

 65% -- Cigarro
 52% -- Sedentarismo
 34% -- Colesterol alto
 34% -- Presso alta

<R+>
 Fonte: CARDOSO, Maurcio. 
  Devagar e sempre. *Veja*. So Paulo: Abril, ano 29, n. 40. 2. out. 1996.
<R->

  Mexa-se! 
  Uma pessoa que gasta 150 kcal por dia praticando alguma atividade fsica j no  considerada sedentria. 
  Veja, no quadro a seguir, em quais atividades e em quanto tempo se pode atingir essa meta. 

<R+>
 _`[{quadro adaptado_`]
 Lavar o carro durante 45 minutos
 Lavar os vidros da janela ou o cho da casa durante 45 minutos
 Nadar durante 20 minutos
 Andar 3 quilmetros em 30 minutos
 Jogar basquete durante 30 minutos
 Andar 6 quilmetros de bicicleta em 15 minutos
 _`[{fim do quadro_`]

 Fonte: CARDOSO, Maurcio. 
  Devagar e sempre. *Veja*. So Paulo: Abril, ano 29, n. 40. 2 out. 1996. p. 80-82. 

 Chegou a sua vez! 

 1. _`[Use a calculadora_`] Para atingir a meta apresentada, sugere-se tambm correr 3 quilmetros durante x minutos. 
Determine esse tempo, sabendo que: 5x+4?x+1*=712. 
<p>
 2. Descreva todas as atividades que fazem parte de um dia de sua vida. Analise-as e conclua se 
voc  uma pessoa sedentria ou no. Faa um pequeno plano de atividades que torne o seu dia mais saudvel. 
<R->

<144> 
 Retomando o que aprendeu 

  Responda s questes em seu caderno. 
<R+>
 1. Considere a equao 5x+9=5+1x, com 
x=0. A menor raiz dessa equao  o nmero 
real: 
 a) 15 
 b) 5 
 c) 1 
 d) -1 
 e) -15 

<p>
 2. Observe a equao a seguir. 

 x`(4x-1`)=3`(x+1`) 

 Uma das razes dessa equao  o nmero: 
 a) 1,5 
 b) -1,5 
 c) 0,5 
 d) 2,5 
 e) 1 

 3. Se x e x (com x>x) so as duas razes 
reais da equao x-12x=1, com x=0, o valor 
da expresso `(x-x`)2 : 
 a) 36 
 b) 45 
 c) 49 
 d) 64 
 e) 81 

 4. Sabe-se que x  um nmero real inteiro, diferente 
de 0, tal que x+1x=52. Nessas 
<p>
  condies, o valor numrico da expresso 
x3-1x3 : 
 a) 51 
 b) 53 
 c) 59 
 d) 61 
 e) 638 

 5. Considerando que a equao x2+11=12x 
tem duas razes reais diferentes, pode-se dizer que a mdia aritmtica dessas razes : 
 a) 8 
 b) 6 
 c) 5 
 d) 4
 e) 3 

 6. Considere a equao 5x2+6=31x. Uma 
das razes dessa equao  expressa por uma 
frao. A soma dos termos da frao que expressa 
essa raiz : 
 a) 10 
 b) 9 
 c) 8 
<p>
 d) 7 
 e) 6 

 7. Considere V=2k+h25. Quando V=25 e 
k=2,5, temos para h dois valores, que so: 
 a) -10 e 10. 
 b) -5 e 5. 
 c) -11 e 11. 
 d) -15 e 15. 
 e) -9 e 9. 

 8. O menor valor de x que verifica a igualdade, 
y=-4x+x-1, quando y=2,  o nmero real: 
 a) 4 
 b) 2 
 c) 1 
 d) -1 
 e) -2 

 9. A equao ax2-4x-16=0 tem uma raiz 
cujo valor  4. Qual  a outra raiz dessa equao? 
 a) 4 
 b) 2 
 c) -2 
 d) -4 
 e) -6 

 10. A equao x2+`(2m-3`)x+
  +m2+3=0 
tem duas razes reais diferentes. Nessas condies, 
devemos ter: 
 a) m<14 
 b) m<-14 
 c) m>14 
 d) m>-14 
 e) m<-2 

 11. Na equao px2-2`(q-1`)x+
  +6=0, a 
soma das razes  -3, e o produto das razes  
3. Nessas condies, qual  o valor de *q*? 
 a) 3 
 b) 2 
 c) 1 
 d) -1
 e) -2 

<145> 
 12. Se S  o nmero que expressa a soma, 
e P o nmero que expressa o produto das 
razes da equao 2x2+5x-3=0, ento a 
razo SP vale: 
 a) 53 
 b) -53 
 c) 35 
 d) -35 
 e) -23 

 13. O valor de x que satisfaz a equao 
?2x2-4x+9*=2x-3  um nmero real que 
est entre: 
 a) 1 e 3. 
 b) 2 e 4. 
 c) 3 e 5. 
 d) 4 e 6. 
 e) 5 e 7. 

 14. Ao subtrair 3 de certo nmero real x, voc 
obtm o dobro da raiz quadrada desse nmero 
x. Ento, o valor de x : 
 a) 1 
 b) 9 
 c) 4 
 d) 16 
 e) 5 

 15. Um dos pares ordenados `(x,y`) que  soluo 
do sistema 20?3+x*=4+y e x+y=2 : 
 a) `(2,#a`) 
 b) `(1,#j`) 
 c) `(1,-1) 
 d) `(1,#a`) 
 e) `(0,#b`) 

 16. Sendo `(x1,y1`) e `(x2,y2`) as solues do 
sistema x2+3xy=0 e x-y=2, ento a soma y1+y2 
 igual a: 
 a) -52 
 b) -32 
 c) 32 
 d) 52 
 e) 3

 17. Considere o sistema de equaes do 
1 grau a-2b=4 e 2`(a-3`)-3`(b+1`)=-2. 
Qual a equao do 2 grau cujas razes so os 
valores de *a* e *b* da soluo `(a,b`) do sistema 
dado? 
 a) x2-x+2=0 
 b) x2-x-2=0 
 c) x2-x-1=0 
 d) x2-2x+1=0 
 e) x2+x-2=0 

 18. O volume de um paraleleppedo retngulo 
 obtido multiplicando-se as trs dimenses 
desse paraleleppedo. Sabe-se que as dimenses 
de certo paraleleppedo retngulo 
so expressas por 3 cm, `(3-2x`) cm e `(3-x`) 
cm, e o seu volume  de 15 cm3. A soma, em 
centmetros, das trs dimenses desse paraleleppedo 
: 
 a) 3,125 
 b) 3,25 
 c) 4,5 
 d) 7,5 
 e) 5,25 

 19.  dado o sistema de equaes a seguir. 
x-y=1 e x2+y2=
  =8,5. Sendo x>0 e y>0, a soma x+y vale: 
 a) 3 
 b) 3,5 
 c) 4 
 d) 4,5 
 e) 5 

 20. Quando dividimos x3-
  -2x2-21x-18 
pelo polinmio x+1, obtemos como quociente 
o polinmio Q`(x`). Se fizermos Q`(x`)=0, e considerarmos 
x e x as razes da equao obtida 
(com x>x), o valor da razo xx ser: 
 a) -2 
 b) 2 
 c) -12
 d) 12 
 e) -3 
<R->

               oooooooooooo

<146>
<p>
 Unidade 5

 Funo Polinomial do 1 Grau

 Funo? Pra que funo?

  O preo que se paga por uma
ligao telefnica  dado em funo
do tempo que se fala ao telefone.
  O comprimento de uma barra de ferro 
dado em funo da temperatura, pois o
ferro se dilata quando  aquecido.
  O consumo de combustvel de um veculo  dado em
funo do percurso percorrido.
  Quando uma pessoa
ingere bebida alcolica,
a concentrao de
lcool no sangue 
dada em funo da
quantidade de bebida
consumida.

 Sempre localizado!

  Com o sistema de coordenadas cartesianas tanto podemos localizar
uma pea no tabuleiro de 
<p>
xadrez como uma cidade no mapa-mndi.

<R+>
 _`[{tabuleiro de Xadrez e mapa "Localizao da cidade de 
  Belm", no adaptados_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<147>
 29 -- Sistema de coordenadas 
  cartesianas

 Explorando

  A figura a seguir nos mostra uma maquete de parte de uma cidade e um sistema de referncia
indicado por letras e nmeros.

<R+>
 _`[{maquete adaptada_`]
 Legenda:
  -- Rua
 ar -- rvore
 po -- posto
 ig -- igreja
 es -- escola
 ch -- chafariz
 re -- restaurante
 ed -- edifcio
 ci -- cinema
 su -- supermercado
 ca -- casa
 fa -- fbrica
<R->

<F->
10 yyyyyyyyyyy
 9 yyigigigyrereycay
 8 
 7 yyyyyyyyysusu
 6 yyyyyychyyyy
 5 ypopoyyyyarycici
 4 
 3 yyyyyyyyyyy
 2 yyfafayyyyyeded
 1 yyyyyesesyyyy
    {a{b{c{d{e{f{g{h{i{j{k{l 
<F+>

  Se adotarmos uma letra e um nmero, nessa ordem, para localizar os elementos dessa maquete,
a torre da igreja pode ser representada pelo par ordenado `(C,9`).

<p>
 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Usando o critrio anterior, d a localizao do:
 a) restaurante. 
 b) chafariz.

 2. O que voc encontra em:
 a) `(K,9`)? 
 b) `(C,5`)? 
 c) `(I,5`)?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<148>
 Nmeros e pontos

  Um par de nmeros, disposto numa certa ordem, pode determinar a posio de um ponto no
plano. O primeiro nmero representa a distncia medida horizontalmente, e o segundo representa
a distncia medida verticalmente em relao a um ponto.
  Essa ideia de representao de um ponto foi lanada pelo filsofo e matemtico francs
Ren 
 Descartes (1596-1650), em um trabalho publicado em 1637.
  Descartes mostrou que, usando como referncia um par de retas que se interceptavam,
seria possvel construir um sistema no qual nmeros poderiam estar associados a pontos.

<F->
          l 
          l               
        2o,,,,,,,,,,,,,oP
          l               k
distncia l               k
vertical  l               k
          l               k
::::::::::o:::::::::::::o::::::
        Ol  distncia   5 
          l  horizontal
<F+>

  Em relao ao ponto O, interseco das duas retas, o ponto P tem uma distncia horizontal
de 5 unidades e uma distncia vertical de 2 unidades. Para indicar a 
<p>
posio do ponto P,
usamos o par de nmeros `(5,#b`).

 Aplicaes do sistema cartesiano

  O sistema cartesiano  utilizado para a localizao de qualquer ponto em mapas, plantas
de regies e grficos.
  Em Geografia, por exemplo, indica-se a posio de um ponto no globo terrestre pelas
coordenadas geogrficas latitude e longitude. Tomando como referncia o meridiano que
passa por Greenwich (cidade da Inglaterra), indica-se a longitude, que pode ser Leste ou
Oeste. A latitude  determinada com referncia  Linha do Equador, que pode ser Norte ou
Sul. Essas medidas so feitas em graus.
  Observe no mapa-mndi a localizao de Braslia.

<p>
<R+>
 _`[{mapa: "Localizao de 
  Braslia" no adaptado, seguido de legenda_`]
 Legenda: Braslia est situada a 18 de latitude sul e 47 de longitude oeste.

 Fonte: *Atlas geogrfico 
  escolar*. Rio de Janeiro: IBGE, 2007.
<R->

<149>
  Braslia foi fundada em 1960 e  uma
cidade planejada. H outras cidades brasileiras
que tambm foram planejadas, como Belo 
 Horizonte (MG), Rio Claro (SP), Maring
(PR) e Palmas (TO). Em cidades planejadas 
bem mais fcil nos localizar.

<R+>
 _`[{foto seguida de legenda_`]
 Legenda: Palmas  a mais nova cidade planejada do Brasil. Nessa foto de
1996, apenas 6 anos aps tornar-se a capital de Tocantins,  possvel
perceber o planejamento das grandes avenidas. A seguir, veja o mapa
da cidade.

 _`["Mapa da cidade de Palmas" no adaptado_`]
<R->

  Vamos supor que o esquema a seguir represente o centro de uma cidade planejada. Trs
amigos, Ana, Beto e Carlos, combinaram de se encontrar no centro da 
 Praa XV de Novembro.
Ana est na esquina indicada pela letra A, Beto, na esquina indicada pela letra B, e
Carlos est na esquina indicada pela letra C. Observe:

<p>
<R+>
 _`[{esquema adaptado_`]
 A -- Cine Joia
 B -- Restaurante do Lago
 C -- Parque das crianas
 D -- Praa XV de Novembro
<R->

<F->
!::!::!::!::!::!::!::!::!:::::!::;
l  l  l  l  l  l  l  l  l {a  l  l
r::r::r::r::r::r::r::r::r::!::r::l 
l  l  l  l  l  l  l  l  l  l  l  l
r::r::r::r::r::h::r::r::r::r::r::l 
l  l  l  l  l {d  l  l  l  l  l  l
r::r::r::r::r::!::r::r::r::r::r::l 
l  l  l  l  l  l  l  l  l  l  l  l
r::r::r::r::r::!::r::h::r::r::r::l 
l  l  l  l  l  l  l {c  l  l  l  l
r::h::r::r::r::r::r::!::r::r::r::l 
l {b  l  l  l  l  l  l  l  l  l  l
h:::::h::h::h::h::h::h::h::h::h::b 
<F+>

<150>
  Tomando como referncia o centro da Praa XV de Novembro, podemos dizer que:
<R+>
 o Ana est na esquina do Cine Joia, indicada pela letra A, que fica 4 quadras  direita e 
<p>
  2 quadras acima do centro da Praa XV de Novembro.
 o Beto est na esquina do Restaurante do Lago, indicada pela letra B, que fica 5 quadras 
esquerda e 3 quadras abaixo do centro da Praa XV de Novembro.
 o Carlos est na esquina do Parque das Crianas, indicada pela letra C, que fica 1 quadra
 direita e 2 quadras abaixo do centro da Praa XV de Novembro.
<R->

  Vamos esquematizar a planta desse mapa do seguinte modo:

<R+>
 1 passo: Traamos duas retas perpendiculares, uma horizontal, chamada eixo x, e outra
vertical, chamada eixo y.
 2 passo: Identificamos o ponto de interseco das duas retas, que coincide com o centro
da Praa XV de Novembro, pelo ponto O. Esse ponto recebe o nome de origem.
 3 passo: Usando segmentos de mesma medida, associamos o lado de cada quadra a esse
segmento.
  Usaremos nmeros positivos para identificar as quadras situadas  direita e acima
da praa, e nmeros negativos para identificar as quadras situadas  esquerda
e abaixo da praa.

<F-> 
               ly
               l              {a
             2r~~~~~~~~~~~~~~o   
               l              { 
               l              {
 -5           l   1         {  x
::w::::::::::::r:::w::::::::::w:::
  {            l   {          4  
  {         -2r~~~o 
  {            l   {c
  {            l    
 o~~~~~~~~~~~~l-3 
 {b            l
<F+>

  Portanto:
 o Ana est na posio A `(4,#b`).
 o Beto est na posio B `(-5,-3`).
 o Carlos est na posio C `(1,-2`).
<R->

<151>
  Os pares de nmeros `(4,#b`), `(-5,-3`) e `(1,-2`) so chamados pares ordenados porque
convencionamos uma ordem para escrever os seus nmeros: em primeiro lugar o nmero do
eixo x e, em seguida, o nmero do eixo y.
  A partir do que foi visto, vamos observar como se constri um sistema de coordenadas
cartesianas.
<R+>
 o Traamos duas retas perpendiculares: uma horizontal, chamada eixo x, e outra vertical,
chamada eixo y.
 o O ponto de interseco dos dois eixos recebe o nome de origem do sistema e corresponde
ao par ordenado `(0,#j`).
 o Nos eixos, a cada ponto fazemos corresponder um nmero: os nmeros positivos  direita
e acima da origem; os nmeros negativos  esquerda e abaixo da origem.
<R->
  O sistema assim formado recebe o nome de plano cartesiano.

<F-> 
                l y
              3l
                l  
              2l
                l 
              1l 
                l               x
:w::::w::::w::::r::::w::::w::::w:
-3  -2  -1 0l    1   2   3
                l
             -1l
                l
             -2l 
                l
             -3l 
<F+>

  Assim, todo ponto do plano fica definido a partir de dois valores: um no eixo x e outro no
eixo y, ou seja, todo ponto pode ser representado por um par ordenado `(x,y`). Esses valores
so as coordenadas do ponto.
  Observe os pontos destacados neste sistema de coordenadas cartesianas:

 _`[{figura no adaptada_`]

 A `(2,#b`) 
 B `(4,#c`) 
 C `(5,-2`) 
 D `(-2,-1`) 
 E `(-1,#c`) 
 F `(3,#j`) 
 G `(0,#d`)
 H `(6,#e`)
 I `(0,#j`)

<152>
 O sistema cartesiano nos jogos

  Voc j jogou xadrez ou damas?
  Nesses jogos, fica bem fcil localizar a posio de uma pea no
tabuleiro usando o sistema de coordenadas.
  Observe o desenho do tabuleiro de xadrez. A localizao de cada
casa  identificada por um par ordenado de nmeros: o 1 nmero
identifica a fila vertical (coluna) e o 2, a fila horizontal (linha).

<R+>
 _`[{tabuleiro de xadrez adaptado_`]
 Legenda:
 y -- quadrado branco
  -- quadrado preto
<R->

<F->
8  y  y  y  y
7 y  y  y  y 
6  y  y  y  y
5 y  y  y  y 
4  y  y  y  y
3 y  y  y  y 
2  y  y  y  y
1 y  y  y  y 
   1 #b #c #d #e #f #g #h
<F+>

 Chegou a sua vez!

<R+>
 1. Observe, a seguir, os pares ordenados que indicam as posies das casas pretas da 1 e da 2 fila horizontal.
<p>
 o Casas pretas da 1 fila horizontal: `(2,#a`), `(4,#a`), `(6,#a`) e `(8,#a`).
 o Casas pretas da 2 fila horizontal: `(1,#b`), `(3,#b`), `(5,#b`) e `(7,#b`).
  Escreva os pares ordenados que indicam as posies das casas pretas da 3 e da 4 fila horizontal.
 2. Os pares ordenados que indicam as posies das casas brancas da 1 fila horizontal so:
`(1,#a`), `(3,#a`), `(5,#a`) e `(7,#a`). Escreva os pares que indicam as posies das casas brancas da 5 e da
6 fila horizontal.
 3. Dado um desses pares ordenados, voc consegue dizer, de imediato e sem olhar na figura, se
esse par representa a posio de uma casa branca ou preta? Por qu?
 4. Dados dois desses pares ordenados, voc consegue dizer, de imediato e sem olhar na figura,
se esses pares indicam as posies de casas da mesma cor ou de cores diferentes? Por qu?

 Exerccios

 _`[{para as atividades de 1 a 12, pea orientao ao professor_`]

 1. Em um auditrio, as poltronas esto dispostas
em 6 colunas e 4 linhas, conforme mostra
a figura a seguir _`[no adaptada_`]. Sabendo que o primeiro
nmero do par indica a coluna, e o segundo indica
a linha, escreva no caderno o par ordenado
que corresponde  poltrona: 
 a) A 
 b) B 
 c) C

 2. D as coordenadas cartesianas de cada
ponto assinalado na figura _`[no adaptada_`].

<153>
<p>
 3. Veja as figuras de um mesmo tabuleiro de
damas em dois momentos.

 _`[{tabuleiros no adaptados_`]
 
 Na figura 1, temos as peas em posio de partida,
e, na figura 2, temos o tabuleiro aps a
primeira jogada (movimento da pea branca).
Sabendo que a posio de uma pedra pode ser
dada por um par ordenado em que o primeiro
elemento  uma letra (coluna), e o segundo 
um nmero (linha), indique:
 a) a posio ocupada, na figura 2, pela pea
branca que se movimentou.
 b) a posio ocupada, na figura 1, pela mesma
pea.

 4. Observe as retas *r* e *s* _`[no adaptadas_`], que se interceptam
no ponto P.
  D as coordenadas cartesianas do ponto:
<p>
 a) P.
 b) A (interseco da reta *s* com o eixo x).
 c) D (interseco da reta *r* com o eixo y).

 5. Observe este plano cartesiano _`[no adaptado_`]:
  Agora, responda:
 a) Quais so as coordenadas de cada vrtice do quadrado A{b{c{d?
 b) Quantas unidades de comprimento tem cada lado do quadrado?

 6. Observe o tringulo A{b{c no plano cartesiano a seguir _`[no adaptado_`].
  Agora, responda:
 a) Quais so as coordenadas de cada um dos vrtices desse tringulo?
 b) Como voc classificaria esse tringulo quanto aos ngulos?
 c) Quantas unidades de comprimento tem o cateto A{b?
<p>
 d) Quantas unidades de comprimento tem o cateto A{c?

 7. Observe a circunferncia no plano cartesiano a seguir _`[no adaptado_`].
  De acordo com a figura, responda:
 a) Quais as coordenadas do centro dessa circunferncia? 
 b) Quantas unidades de comprimento tem o raio dessa circunferncia?
 c) Qual  o eixo tangente  circunferncia?

 8. Localize no plano cartesiano os pontos:
 a) A `(2,#e`) 
 b) B `(-3,#f`) 
 c) C `(4,-4`) 
 d) D `(-1,-1`) 
 e) E `(0,#c`)
 f) F `(-9,-3`)

<154>
 9. Use papel milimetrado e construa os segmentos ^c?A{b* e ^c?P{r*, sendo dados:
 a) A `(5,#b`) e B `(-1,#d`).
 b) P `(-2,-2`) e R `(3,-4`).

 10. Sabendo que R `(5,#a`), S `(5,#c`) e T `(3,#a`) so
os vrtices de um tringulo, desenhe, no caderno,
esse tringulo e responda:
 a) O tringulo R{s{t  retngulo?
 b) O tringulo R{s{t  escaleno ou issceles?

 11. Os vrtices de um tringulo A{b{c so os
pontos A `(0,#e`), B `(0,#j`) e C `(3,#j`). Desenhe esse
tringulo no plano cartesiano e diga se esse tringulo
 retngulo.
 
 12. Os pontos A `(4,#d`), B `(-4,#d`), C `(-4,-4`) e
D `(4,-4`) so os vrtices de um quadrado. Localize
esses pontos no plano cartesiano e construa
o quadrado. Em seguida, responda:
<p>
 a) Qual  o comprimento de cada lado desse quadrado?
 b) De quantas unidades  o seu permetro?
<R->

 Desafio!

  Num sistema cartesiano, os pontos A `(-2,-3`) e C `(5,#d`) so vrtices opostos de um quadrado A{b{c{d.
  Troque ideias com um colega e faa o que se pede:
<R+>
 a) Descubra as coordenadas dos outros dois vrtices. 
 b) Represente o polgono em papel quadriculado.
 c) Calcule o permetro e a rea desse quadrado.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

 30 -- A noo de funo

  Com bastante frequncia, nos deparamos com situaes que envolvem relaes entre
duas grandezas 
<p>
variveis. Acompanhe algumas dessas situaes:

<R+>
 1- Uma caneta custa 30 reais. Se representarmos por x o nmero de canetas iguais a essa
que queremos comprar e por y o preo, em reais, que pagaremos, podemos organizar a
seguinte tabela:

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l  Nmero de   _  Preo a    _
 l canetas `(x`)   _ pagar `(y`)    _
 r:::::::::::::::w::::::::::::::w
 l 1            _ 130=30   _
 l 2            _ 230=60   _
 l 3            _ 330=90   _
 l 4            _ 430=120  _
 l ...           _ ...          _
 l 10           _ 1030=300 _
 l 11           _ 1130=330 _
 l ...           _ ...          _
 h:::::::::::::::j::::::::::::::j
 
 Observando a tabela, voc percebe que o preo y a pagar depende do nmero x de canetas
que forem compradas. Entre as grandezas y e x existe uma relao expressa pela
sentena matemtica y=x30 ou y=30x.
<R->

<155>
  Voc pode notar tambm que:
<R+>
 o O nmero x de canetas  uma grandeza que varia de forma independente.
 o O preo y a pagar  uma grandeza que varia de acordo com a grandeza nmero de canetas.
 o A todos os valores de x esto associados valores de y.
 o Para cada valor de x est associado um nico valor de y.
<R->
  Nessas condies, podemos dizer:

  O preo y a pagar  dado em funo do nmero x de canetas adquiridas, e
a sentena y=30x  chamada lei de formao da funo.

  A varivel x  chamada varivel independente, e a varivel y  dependente da varivel x.
  Uma vez estabelecida a relao entre as grandezas nmero de canetas e preo a pagar,
podemos responder a questes como:
<R+>
 a) Quanto vou pagar por 50 canetas iguais a essa?
 y=30x :> y=3050 :> y=1.500
 Logo, vou pagar R$1.500,00 por 50 canetas.
 b) Se eu tiver R$780,00, quantas dessas canetas conseguirei comprar?
 y=30x :> 780=30x :> x=78030=26
 Portanto, conseguirei comprar 26 canetas.

 2- Mrcia ligou seu computador  rede internacional de computadores, Internet. Para fazer
uso dessa rede, ela paga uma mensalidade fixa de R$30,00, mais 15 centavos de real
`(R$0,15`) por cada minuto de uso. O valor a ser pago por Mrcia ao final do ms depende,
ento, do tempo que ela gasta acessando a 
  Internet.
  Observe a tabela que relaciona o valor a ser pago com o tempo de acesso  rede:

 _`[{tabela adaptada em duas colunas_`]
 1 coluna: Tempo de acesso (em minutos)
 2 coluna: Valor a ser pago (em R$)

 !:::::::::::::::::::::::::::
 l 1 _         2          _
 r:::::w::::::::::::::::::::::w
 l 1  _ 30+0,15=30,15     _
 l 2  _ 30+0,152=30,30  _
 l 3  _ 30+0,153=30,45  _
 l 4  _ 30+0,154=30,60  _
 l ... _ ...                  _
 l 10 _ 30+0,1510=31,50 _
 l ... _ ...                  _
 l 20 _ 30+0,1520=33,00 _
 l ... _ ...                  _
 l 60 _ 30+0,1560=39,00 _
 l ... _ ...                  _
 l t   _ 30+0,15t          _
 h:::::j::::::::::::::::::::::j
<L>
 Podemos, ento, estabelecer uma relao
entre as grandezas tempo de
utilizao da rede e o valor a ser pago
por Mrcia no final do ms por meio da
sentena V=30+0,15t, em que V
 o valor a ser pago (em reais), e *t*  o
tempo de utilizao (em minutos).
<R->

<156>
  Nessa relao, dizemos que:
<R+>
 o *t*  a varivel independente.
 o V  a varivel que depende de *t*, ou seja, a varivel V  dada em funo da varivel *t*.
<R->

  Estabelecida a relao entre as grandezas tempo de acesso e valor a ser pago, podemos
responder s questes:
<R+>
 a) Quanto gastar Mrcia se, durante o ms, utilizar a 
  Internet por 10 h 20 min?
 10 h 20 min =1060 min +20 min =620 min
 V=30+0,15620=123,00
 Ela gastar R$123,00.
 b) Quantas horas ela poder utilizar a Internet, se quiser gastar, no mximo, R$90,00 no ms?
 Para V=90, temos: 90=30+
  +0,15t
 60=0,15t
 t=600,15 min =400 min
 t=400 min =6 h 40 min 
 40060=6 resto 40
 Nesse caso, ela poder utilizar a Internet por 6 h 40 min.
<R->

  Quando escrevemos a lei de formao de uma funo, utilizamos, em geral, as letras x e y para representar as variveis que estamos relacionando, sendo y dado em funo de x.
  Existem relaes, no entanto, em que utilizamos outras letras, por exemplo, v=dt, em que *v*  a velocidade, e *t*  o tempo que se leva para percorrer a distncia *d*.

<p>
 Exerccios

<R+>
 1. A rea do quadrado  dada em funo da
medida do seu lado. Indicando por y a rea e
por x a medida do lado, qual  a lei de formao
que relaciona as grandezas rea e medida do
lado do quadrado?
 2. Um vendedor trabalha  base de comisso.
Assim, seu ganho mensal y depende (ou  dado
em funo) do total x de vendas que ele realiza
durante o ms. Sabendo-se que esse vendedor
recebe 15% do total que vende, qual  a lei de
formao da funo estabelecida entre essas
duas grandezas?
 3. Quando compramos laranja na feira, o
preo y que pagamos ao feirante depende
(ou  dado em funo) do nmero x de dzias
de laranja que compramos. Na barraca de frutas do
senhor Alfredo, o preo da dzia de laranja 
3 reais. Qual  a lei de formao que relaciona
essas duas grandezas?
<157>
 4. Uma firma especializada em conserto de
geladeiras cobra uma taxa fixa de 25 reais pela
visita do tcnico, mais 10 reais, por hora, de
mo-de-obra. Logo, o preo y que se paga pelo
conserto depende (ou  dado em funo) dessas
condies. Sabendo-se que foram empregadas
x horas de mo-de-obra, qual  a lei de formao
que define uma funo entre essas duas
grandezas?
 5. Os professores de uma academia recebem
a quantia de 15 reais por aula, mais uma quantia
fixa de 200 reais como abono mensal. Ento,
a quantia y que o professor recebe por ms 
dada em funo do nmero x de aulas que ele
d durante esse ms. Qual  a lei de formao
da funo que relaciona essas duas grandezas?
<p>
 6. Uma mquina produz 1.200 peas por hora.
Ento, a produo y de peas por dia depende
do nmero x de horas que a mquina trabalha
durante o dia. Encontre a lei de formao da
funo que relaciona essas duas grandezas.

 7. Vamos escrever a lei de formao de cada uma das seguintes funes:
 a) A cada nmero real x associar um nmero real y que represente o triplo do nmero x. 
 b) A cada nmero real x associar um nmero real y que represente o dobro de x menos 10.
 c) A cada nmero real positivo x associar um nmero real y que represente o inverso de x.
 d) A cada nmero real x associar um nmero real y que represente o quadrado de x menos 4.
 e) A cada nmero real x associar um nmero real y que represente a metade de x aumentada de 5.

 8. O preo de um sorvete  2,50 reais. Se voc
comprar x sorvetes, dever pagar y reais, ou
seja, a quantia que voc vai pagar  dada em
funo do nmero de sorvetes que vai comprar.
Nessas condies, responda:
 a) Qual  a sentena matemtica que define a funo que relaciona essas duas grandezas?
 b) Quanto voc gastar se comprar 3 sorvetes?
 c) Se voc pagou 12,50 reais, quantos sorvetes voc comprou?

 9. Em um retngulo de comprimento 50 unidades,
a rea y  dada em funo da largura x.
Nessas condies:
 a) Escreva a lei de formao matemtica que define a funo que relaciona essas duas grandezas.
 b) Qual ser a rea do retngulo, se a largura for 16,5 unidades?
 c) Se um retngulo tiver 1.800 unidades de rea, qual ser sua largura?
<L>
 10. Um motorista, saindo de um ponto A,
viaja por uma estrada e verifica que a distncia
percorrida, desde o ponto inicial, pode ser
calculada por y=51x+17, em que y  dado
em quilmetros, e x  dado em horas. Nessas
condies, determine as distncias percorridas,
de hora em hora, desde x=1 at x=4.
 11. Quando uma empresa cobra x reais por
unidade de um determinado produto, so vendidas
y unidades desse produto por ms. Nessas
condies, a relao entre x e y  dada pela
sentena y=100-0,5x, e a receita R mensal
da empresa corresponde a R=yx. Para uma
receita mensal de venda desse produto de
R$4.800,00, o preo cobrado, por unidade, pode
ser x ou x. Calcule o valor de x e de x.
<158>
 12. A famlia Soares (pai, me e 2 filhos) vai acampar durante 2 semanas (14 noites) em um mesmo
*camping*. Veja os preos e ajude-os a escolher o local mais barato.

 _`[{propaganda adaptada_`]
 Camping do Sol
 Preos por pessoa
<R->

<F->
!:::::::::::::::::
l  15 reais      _
l  o pernoite     _
l  durante a 1  _
l  semana         _
l  (7 noites)  _
h:::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::
l  14 reais      _
l  o pernoite     _
l  durante a 2  _
l  semana         _
l  (7 noites)  _
h:::::::::::::::::j
<F+>

<p>
<F->
!:::::::::::::::::::
l  13 reais        _
l  o pernoite       _
l  para o restante  _
l  da estada        _
h:::::::::::::::::::j

<R+>
Crianas com menos de 5 anos no paga.
<F+>

 _`[{propaganda adaptada_`]
 Campinhg dos Pssaros

<F->
!:::::::::::::::::::::::::
l  14 reais o pernoite   _
l  valor por pessoa a     _
l  partir de 15 anos     _
h:::::::::::::::::::::::::j
<F+>

<F->
!:::::::::::::::::::::::::
l  12 reais o pernoite   _
l  por pessoa com         _
l  menos de 15 anos      _
h:::::::::::::::::::::::::j
<F+>

 Pelas promoes, o local mais barato vai depender da idade das crianas. Copie e complete no seu
caderno a tabela a seguir, em que 
x representa a idade do filho mais velho e y, a idade do outro filho.

 _`[{tabela adaptada em 3 colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Idades dos filhos
 2 coluna: Camping do Sol
 3 coluna: Camping dos Pssaros
<R->

 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l 1               _ 2 _ 3 _
 r:::::::::::::::::::w:::::w:::::w
 l x<5              _ ... _ ... _
 l y<5 e 5<=x<15  _ ... _ ... _
 l y<5 e x>=15     _ ... _ ... _
 l y>=5 e x<15     _ ... _ ... _
 l 5<=y<15 e x>=15_ ... _ ... _
 l y>=15            _ ... _ ... _
 h:::::::::::::::::::j:::::j:::::j

 Celsius {" Fahrenheit

  Para graduar um termmetro nas escalas Celsius e Fahrenheit so utilizados
dois estados trmicos com temperaturas bem definidas:
<R+>
 o ponto de gelo, temperatura de fuso do gelo sob presso normal;
 o ponto de vapor, temperatura de ebulio da gua sob presso normal.
<R->

<F->
     C           F  
      l             _
100 :l~~~~~~~~~~~~~_: 212
      l             _
      l             _
  C :~~~~~~~~~~~~~: F
                   
                    
  0 :~~~~~~~~~~~~~: 32
     wr           wr
    escala        escala
   Celsius    Fahrenheit
<F+>

  Na escala Celsius (C) so atribudos, respectivamente, os valores 0 e 100
para essas temperaturas, e o intervalo entre esses dois pontos fixos  dividido em
100 partes iguais.
  Na escala Fahrenheit (F), atribui-se o valor 32  temperatura de fuso do
gelo e 212  temperatura de ebulio da gua. O intervalo entre esses pontos 
dividido em 180 partes iguais.
  De acordo com os dados, podemos estabelecer a seguinte relao entre as
duas escalas:

 C100=?F-32*180 :> 
  F=95C+32

<159>
  A transformao de uma temperatura na escala Celsius (C) para a correspondente temperatura na escala Fahrenheit (F)
 um exemplo de funo:

 F=95C+32 :> y=95x+32

 Chegou a sua vez!

  Utilizando a lei de formao dessa funo, responda:
<R+>
 1. Se x=50, qual o correspondente valor de y?
<p>
 2. A quanto corresponde, na escala Celsius, 86F?

 Domnio e imagem de uma funo
<R->

   Quando relacionamos duas variveis por meio de uma funo, devemos estar atentos
aos valores que as variveis podem assumir na funo.
  O permetro y de um quadrado, por exemplo,  dado em funo da medida do seu lado
x pela lei de formao y=4x. Nesse caso, x tem de ser um nmero real positivo, ou seja,
x,_r+*, pois no existe medida de lado nula ou negativa. Assim, x nunca poder assumir o
valor -2, por exemplo.
  Como j vimos, os valores que y assumir dependem dos valores de x. Para cada valor
de x teremos um valor correspondente de y.
  Na funo dada pela frmula y=1x, por exemplo, a varivel x no pode assumir o valor
zero, pois a frao 10 (diviso por zero) no existe. Assim, a varivel x pode assumir qualquer
valor real, menos o zero, ou seja, x,_r*.
  De modo geral, em uma funo:

  O conjunto de valores que a varivel x pode assumir chama-se domnio da funo
e  indicado por D. O valor da varivel y correspondente a um determinado valor de
x  chamado imagem do nmero x dado pela funo. O conjunto formado
por todos os valores de y que correspondem a algum x do domnio  chamado
conjunto imagem da funo e  indicado por Im.

  Acompanhe os exemplos.

<R+>
 1- O permetro de um tringulo equiltero  dado em funo da medida do seu lado.
Sendo x a medida do lado e y o permetro do tringulo equiltero, essa funo  representada
pela seguinte sentena matemtica: y=3x.
  A partir do que vimos anteriormente, o domnio da funo  D=_r+* ou D=~lx,_r,x>0_,.
<160>
  Veja as imagens de alguns possveis valores de x do domnio dessa funo:
 o Se x=3, ento y=3`(3`)=9. O nmero 9  a imagem do nmero 3 pela funo dada.
 o Se x=2,5, ento y=3`(2,5`)=
  =7,5. O nmero 7,5  a imagem do nmero 2,5 pela funo dada.
 o Se x=10, ento y=3
  `(10`)=310. O nmero 310  a imagem do nmero 10 pela funo dada.
 o Se x=215, ento y=3
  `(215`)=25. O nmero 25  a imagem do nmero 215 pela funo dada.

 2- Considere a funo dada pela frmula y=1x. Nessa funo, a varivel x pode assumir
qualquer valor real, menos o zero, j que o denominador de uma frao nunca pode ser zero.
  Nesse caso, o domnio da funo  D=_r* ou D=~lx,_r,x=0_,.
 o Se x=10, ento y=110. O nmero 110  a imagem do nmero 10 pela funo dada.
 o Se x=-2, ento y=-12. O nmero -12  a imagem do nmero -2 pela funo dada.
 o Se x=18, ento y=1~?18*=8. O nmero 8  a imagem do nmero 18 pela funo dada.

 3- Quando a um nmero real associamos o seu triplo aumentado de 2 unidades, teremos
uma funo definida pela frmula matemtica y=3x+2. Nessa funo no h restries
para os valores que x pode assumir. Nesse caso, x pode assumir todos os valores reais.
Logo, o domnio da funo  D=_r.
  Veja as imagens de alguns valores de x do domnio:
 o Se x=-10, ento y=3`(-10`)+
  +2=-28. O nmero -28  a 
<p>
  imagem do nmero -10 pela funo dada.
 o Se x=0,5, ento y=3`(0,5`)+
  +2=3,5. O nmero 3,5  a imagem do nmero 0,5 pela funo dada.
 o Se x=-13, ento y=3
  `(-13`)+2=1. O nmero 1  a imagem do nmero -13 pela funo dada.
 Observe que se x,_r, 3x,_r e `(3x+2`),_r tambm. Assim, vemos que o
conjunto imagem da funo dada por y=3x+2, com domnio real, tambm  _r,
ou seja, nesse caso Im=_r.

               ::::::::::::::::::::::::

<161>
 31 -- A funo polinomial do 1 grau
<R->

  Acompanhe as seguintes situaes:

<R+>
 1- Um hexgono regular, cujo lado mede x unidades, tem o seu permetro indicado por y.
Nesse caso, o permetro  dado em funo da medida do lado, e essa relao  uma
funo definida pela lei de formao y=6x.
 2- Um retngulo, cujo comprimento mede x unidades, e a largura mede 10 unidades, tem
o seu permetro indicado por y. Logo, o permetro desse retngulo  dado em funo do
seu comprimento, e a funo obtida dessa relao  definida por y=2x+20.
<R->

  Podemos observar que, nas duas sentenas matemticas, o 2 membro  um polinmio
do 1 grau na varivel x.

<R+>
 y=6x -- polinmio do 1 grau na varivel x
 y=2x+20 -- polinmio do 1 grau na varivel x
<R->

  Uma funo  chamada funo polinomial do 1 grau quando  definida pela sentena
matemtica y=ax+b, com a,_r, b,_r e a=0.
<L>
  Pela definio, so funes polinomiais do 1 grau:
 o y=3x-1
 o y=-6x
 o y=12x+5
 o y=13x-2x
 o y=7-5x
 o y=12x

<162>
  Observe, a seguir, alguns exemplos de questes que envolvem funes do 1 grau.

<R+>
 1- Dada a funo definida por y=-7x+5, determinar a imagem do nmero real -3 por essa funo.
  Para determinar essa imagem, substitumos x por -3 na lei de funo:
 y=-7x+5 :> y=-7`(-3`)+5
 y=21+5 :> y=26
 Logo, 26  a imagem do nmero -3 pela funo dada.

<p>
 2- Dada a funo definida por y=5-4x, qual  o nmero real x cuja imagem por essa funo
 110?
  Nesse caso, temos y=110. Da:
 110=5-4x
 110=?50-40x*10
 1=50-40x
 1+40x=50
 40x=50-1
 40x=49
 x=4940
 Logo, o nmero real procurado  4940.

 Exerccios

 1. Uma funo polinomial do 1 grau  definida
por y=5x+3. Nessas condies, determine
a imagem do nmero -2 por essa funo.
 2. Dada a funo polinomial do 1 grau definida
por y=-8x+4, determine o nmero real
x cuja imagem por essa funo  0.
<p> 
 3. O permetro y de um quadrado  dado em
funo da medida x do lado, funo essa definida
por y=4x. Nessas condies:
 a) Organize uma tabela com as imagens dessa
funo para as seguintes medidas x do lado:
5 cm; 7,2 cm; 11 cm; 20,5 cm e 103 cm.
 b) Observando a tabela que voc organizou,
qual  a imagem do nmero real 103 por
essa funo?
 c) Observando a tabela que voc organizou,
qual  o nmero real x cuja imagem por essa
funo  44?
 
 4. O chefe do departamento de promoo de
uma loja verificou que quanto mais anunciava
na televiso, mais ele vendia. Logo, a venda era
dada em funo dos anncios feitos na televiso.
Aps estudos, verificou-se que essa funo
era definida pela lei y=32x+150, em que y
era a quantidade de mercadorias vendidas na
semana e x, o nmero de comerciais de televiso
durante a mesma semana.
  Com base nessas condies, responda s questes
a seguir.
<163>
 a) Quantas mercadorias essa loja vendeu durante a semana em que o comercial apareceu 42 vezes na televiso?
 b) Quantas vezes o comercial da loja apareceu na televiso durante a semana em que a loja vendeu 240 mercadorias?

 5. Considere a funo dada por y=14x-2 e determine a imagem por essa funo de cada um dos seguintes nmeros reais:
 a) 0 
 b) 4 
 c) -8

 6. Descubra o nmero real x cuja imagem pela funo definida por y=1-9x :
 a) 19 
 b) 0,1
<L>
 7. Em um retngulo, a largura  72 cm, e o
comprimento  x cm. Se voc indicar o permetro
desse retngulo por y, esse permetro ser
definido pela funo dada por y=2x+144.
  Nessas condies, responda:
 a) Qual  o permetro desse retngulo, se o comprimento  102 cm?
 b) Qual ser o comprimento desse retngulo quando o permetro for 402 cm?
<R->

 Brasil Real

 wr Cidadania

  Em julho de 2007, houve uma mudana no sistema de cobrana dos servios de telefonia fixa na
cidade de So Paulo: as ligaes locais para telefones fixos passaram a ser cobradas pelo tempo
de durao, contado em minutos e no mais por pulsos.
  Com isso, o consumidor passou a ter acesso ao tempo de durao, ao
nmero discado e ao custo de cada ligao, informaes que antes s
eram descritas nas contas de celulares ou nos casos de ligaes interurbanas
e internacionais de telefones fixos.
  No Plano Alternativo de Servios de Oferta Obrigatria (PASOO) a cobrana
 bastante similar  medio por pulso. Nesse plano, ao completar
uma ligao, o usurio paga uma taxa de completamento, cerca
de R$0,15, e o minuto custa aproximadamente R$0,04. Assim, a
tarifao  feita de acordo com o tempo de durao de cada ligao.
Considerando as condies do PASOO, responda s seguintes
questes:
<R+>
 1. Indique por x a quantidade de minutos de uma ligao feita no plano PASOO e por y o valor pago, em reais, por essa ligao.
 a) Escreva uma sentena matemtica que determine o valor de cada ligao feita nesse plano.
 b) Verifique se essa sentena  lei de formao de uma funo polinomial do 1 grau. Justifique sua resposta.

 2. Se uma pessoa fizesse 7 telefonemas de 8 minutos de durao cada um, nesse plano, quanto custariam essas ligaes?
 3. Faa uma tabela indicando o valor em reais de ligaes que duraram em minutos: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 60 e 90.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 4. Se o valor cobrado de uma ligao foi R$0,83, quanto tempo durou essa ligao?
 
 5. Observando a tabela que voc construiu, responda:
 a) A cada 5 minutos, de quanto aumenta o valor cobrado?
<p>
 b) A cada 30 minutos, de quanto aumenta o valor cobrado?
 c) Para uma ligao que durar exatamente duas horas, o valor cobrado ser o dobro do valor correspondente a uma hora? Por qu? Quanto custar essa ligao?
 d) O que fica mais barato: fazer uma ligao com durao de 3 horas ou fazer trs ligaes de 1 hora cada uma? Explique sua resposta.

               ::::::::::::::::::::::::

<164>
 32 -- Grfico da funo 
  polinomial do 1 grau no plano cartesiano
<R->

  Podemos representar graficamente uma funo polinomial do 1 grau, utilizando para
isso um sistema de coordenadas cartesianas. Essa representao deve nos dar todas as
informaes sobre como se comporta essa funo e  um recurso muito utilizado por ser de
fcil visualizao.
  J sabemos que em uma funo, cada valor de x corresponde a um nico valor de y;
marcamos, ento, no plano cartesiano os pontos de coordenadas `(x,y`). Dessa maneira, obtemos
um conjunto de pontos chamado grfico da funo.
  Acompanhe os exemplos a seguir para compreender melhor o que significa o grfico de
uma funo.

<R+>
 _`[{para os exemplos de 1 a 4, pea orientao ao professor_`]

 1- Vamos construir, no plano cartesiano, o grfico da funo y=2x, considerando x um
nmero real qualquer.
  Inicialmente, vamos organizar uma tabela atribuindo valores arbitrrios para x e determinando os valores correspondentes para y:

 x=0 :> y=2(0)=0
 x=1 :> y=2(1)=2
 x=-1 :> y=2`(-1`)=-2
 x=2 :> y=2`(2`)=4
 x=-2 :> y=2`(-2`)=-4

 !:::::::::::::::::::::
 l x   _ y   _ `(x,y`)     _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 0  _ 0  _ `(0,#j`)   _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 1  _ 2  _ `(1,#b`)   _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l -1 _ -2 _ `(-1,-2`) _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 2  _ 4  _ `(2,#d`)   _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l -2 _ -4 _ `(-2,-4`) _
 h:::::j:::::j:::::::::::j

 A cada par ordenado `(x,y`) da tabela
associamos um ponto do plano
cartesiano.
  O grfico da funo  o conjunto de
todos os pontos `(x,y`), com x real e
y=2x.
  Observe que nesse caso o grfico
da funo y=2x  uma reta.

 _`[Grfico no adaptado_`]
<L>
<165>
 2- Vamos representar, no plano cartesiano, o grfico da funo y=2x-3, considerando x
um nmero real qualquer.
  Inicialmente, vamos elaborar a tabela:

 x=0 :> y=2(0)-3=-3
 x=1 :> y=2(1)-3=-1
 x=-1 :> y=2`(-1`)-3=-5
 x=2 :> y=2(2)-3=1 

 !:::::::::::::::::::::
 l x   _ y   _ `(x,y`)     _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 1  _ -1 _ `(0,-3`)  _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 1  _ -1 _ `(1,-1`)  _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l -1 _ -5 _ `(-1,-5`) _
 r:::::w:::::w:::::::::::w
 l 2  _ 1  _ `(2,#a`)   _
 h:::::j:::::j:::::::::::j

 No plano cartesiano a seguir, a cada
par `(x,y`) associamos um ponto.
  O conjunto de todos os pontos
`(x,y`), com x real e y=2x-3,  o
grfico da funo que, nesse caso,
tambm  uma reta.

 _`[Grfico no adaptado_`]
<R->

  De modo geral, dizemos que:

  O grfico de uma funo polinomial
do 1 grau, no plano cartesiano,
com x,_r,  sempre uma reta.

<R+>
 3- Vamos construir, no plano cartesiano, o grfico da funo y=-3x, sendo x um nmero real qualquer.
  Como o grfico de uma funo
polinomial do 1 grau  uma reta,
e uma reta fica determinada por
2 pontos, basta definir na tabela
dois pares `(x,y`).

 x=0 :> y=-3(0)=0
 x=-1 :> y=-3`(-1`)=3

<p>
 !:::::::::
 l x   _ y  _
 r:::::w::::w
 l 0  _ 0 _
 r:::::w::::w
 l -1 _ 3 _
 h:::::j::::j

 _`[Grfico no adaptado_`]

<166>
 4- Vamos construir no plano cartesiano o grfico da funo dada por y=-x+3, sendo x,_r.
  Como sabemos que o grfico de uma funo polinomial  uma reta, precisamos obter dois pontos para tra-la. Para tanto, vamos determinar dois pares `(x,y`).

 x=0 :> y=-(0)+3=3
 x=2 :> y=-(2)+3=1

<p>
 !::::::::
 l x  _ y  _
 r::::w::::w
 l 0 _ 3 _
 r::::w::::w
 l 2 _ 1 _
 h::::j::::j

 _`[Grfico no adaptado_`]

 Exerccios

 _`[{para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]

 1. Construa no plano cartesiano o grfico de
cada funo polinomial do 1 grau a seguir, sendo
x um nmero real qualquer.
 a) y=x+1
 b) y=x 
 c) y=-x+4 
 d) y=1-2x 
 e) y=-4x
 f) y=3x+1
 g) y=12x+2
 h) y=2-3x

 2. Construa, em um mesmo plano cartesiano,
os grficos das funes y=3x-2 e y=2x-1,
sendo x um nmero real qualquer. Observando
o grfico, quais as coordenadas do ponto de encontro
das duas retas?
 3. Num mesmo plano cartesiano, trace as retas
que representam os grficos das funes
y=x+3 e y=x-2, sendo x um nmero real
qualquer. Qual a relao entre essas duas retas?
 4. Um carro se movimenta em velocidade
constante, segundo a sentena matemtica
y=2x+1, em que y representa a posio, em
metros, do carro no instante x, em segundos.
Construa, no plano cartesiano, o grfico da posio
do carro em funo do tempo.
<R->

  Lembre-se de que nesse caso a
varivel x assume apenas valores
reais no negativos.

<p>
<R+>
 5. Usando o plano cartesiano, determine as
coordenadas do ponto de encontro das retas que 
representam os grficos das funes dadas
por y=6-x e y=x-2.
<R->

<167>
 Tratando a informao

 wr Sade

  Um estudo realizado pelo Departamento Nacional de Trnsito (Denatran) apontou a reduo
de acidentes de trnsito aps a vigncia da Lei 11.705, publicada em 20 de junho de 2008, quando
o condutor foi proibido de dirigir sob efeito de bebida alcolica ou de qualquer substncia psicoativa.
  Em 2007 foram registrados 13.672 acidentes contra 13.459 no mesmo perodo em 2008.

 Fonte: ~,www.denatran.gov.br~,
  Acesso em: 20 fev. 2009.
 
  A ingesto de uma lata de cerveja provoca uma concentrao de aproximadamente
0,3 gramas/litro de lcool no sangue.
  A tabela a seguir mostra os efeitos (sobre o corpo humano) provocados por bebidas alcolicas
em funo dos nveis de concentrao de lcool no sangue.

<R+>
 _`[{tabela "Os efeitos do lcool" adaptada: Concentrao de lcool no sangue `(g/L`) -- Efeito_`]
 0,1 a 0,5 -- Nenhum efeito aparente.
 0,3 a 1,2 -- Suave euforia; Decrscimo das inibies; Diminuio da ateno.
 0,9 a 2,5 -- Instabilidade emocional; Decrscimo da inibio; Perda do julgamento crtico; Enfraquecimento da memria e da compreenso. 
 1,8 a 3,0 -- Desorientao; Confuso mental e vertigens; Distrbio da sensao e da percepo s cores, formas, movimentos e dimenses; Vacilao no modo de andar e dificuldade na fala.
 2,7 a 4,0 -- Apatia; Diminuio das respostas aos estmulos; Vmitos; Debilidade da conscincia.
 3,5 a 5,0 -- Completa inconscincia; Coma; Anestesia; Debilidade e abolio dos reflexos; Dificuldades circulatrias e respiratrias; Morte possvel.
 maior que 4,5 -- Parada respiratria; Morte. 
 _`[{fim da tabela_`]

 Obs.: 0,1 g/L corresponde a um copo de cerveja.

 Fonte de pesquisa: Revista *Pesquisa*. So Paulo: 
  *Fapesp*, ed. 57, set. 2000.

<p>
 Chegou a sua vez!

 _`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Faa no caderno uma tabela, como esta a seguir,
completando-a com os valores de concentrao
de lcool no sangue para as quantidades de
latas de cerveja de 2 a 10.

 _`[{tabela adaptada em duas colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Quantidade de latas de cerveja
 2 coluna: Concentrao de lcool no sangue `(g/L`)

<p>
 !::::::::::::
 l 1 _ 2   _
 r:::::w:::::::w
 l 1  _ 0,30 _
 l 2  _ ...   _
 l 3  _ ...   _
 l 4  _ ...   _
 l 5  _ ...   _
 l 6  _ ...   _
 l 7  _ ...   _
 l 8  _ ...   _
 l 9  _ ...   _
 l 10 _ ...   _
 h:::::j:::::::j

 2. Construa o grfico da funo definida pela
tabela do exerccio 1.
 3. Construa um grfico de linhas com os dados
da tabela do exerccio 1.
 4. Considerando os valores obtidos na tabela
do exerccio 1, indique por y a concentrao
de lcool no sangue, em gramas por litro, e por
x a quantidade de latas de cerveja ingeridas e
escreva a lei de formao da funo que relaciona
essas grandezas.
 5. Considerando os valores obtidos na tabela
do exerccio 1, descreva os efeitos do lcool sobre
uma pessoa que tomou 5 latas de cerveja.
 6. Para que uma pessoa tenha no seu sangue uma
concentrao de lcool maior que 3,5 g/L, quantas
latas de cerveja, com 350 mL cada uma, devem ser
ingeridas seguidamente? Isso corresponde, aproximadamente,
a quantos litros de cerveja?

               ::::::::::::::::::::::::

<168>
 33 -- Zero da funo polinomial do 1 grau
<R->

  O valor do nmero real x, para o qual se tem y=0 (ou ax+b=0), denomina-se zero
da funo polinomial do 1 grau.
  Vamos determinar, por exemplo, o zero da funo definida por y=x-3.
  Algebricamente, devemos fazer x-3=0 e resolver a equao obtida:

 x-3=0 :> x=3

  Geometricamente, construmos o grfico da funo:

 _`[Grfico no adaptado_`]

  Pelo grfico, vemos que y=0 no ponto associado ao par ordenado `(3,#j`).
  Logo, o zero da funo  dado pelo valor x=3.
  Voc pode notar que, geometricamente, o zero da funo est associado ao ponto em que a reta corta o eixo x.

 Exerccios

<R+>
1. Determine, algebricamente, o zero de cada uma das seguintes funes:
<p>
 a) y=x-6
 b) y=-x-4
 c) y=-x+10 
 d) y=2x-3 
 e) y=1-5x
 f) y=12x+3

 2. Fazendo o grfico, determine o zero de cada uma das funes a seguir.
 a) y=x+1
 b) y=-x+3 
 c) y=2-x

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<169>
<R+>
 34 -- Analisando o grfico de uma funo polinomial do 1 grau
<R->

  Consideremos os grficos das seguintes funes polinomiais do 1 grau:

 _`[{grficos no adaptados_`]

 o y=2x-3 
 o y=-x+3

  Observe que:
<R+>
 o na funo y=2x-3, o coeficiente *a*  um nmero real positivo `(a>0`).
  Essa funo  crescente (aumentando-se o valor de x, o valor correspondente de y tambm
aumenta).
 o na funo y=-x+3, o coeficiente *a*  um nmero real negativo `(a<0`).
  Essa funo  decrescente (aumentando-se o valor de x, o valor correspondente de y
diminui).
<R->

  De modo geral, podemos definir que:

  Uma funo y=ax+b  uma funo crescente quando a>0.

<p>
  Esboo do grfico `(a>0`):

<F->
                         ^
                       ^
                     ^
                   ^  
           x=-ba^  
:::::::::::::::o:::::::::::::::o
             ^                x
           ^
         ^
       ^
     ^
<F+>

  Uma funo y=ax+b  uma funo decrescente quando a<0.

<p>
  Esboo do grfico `(a<0`):

<F->
     ^
       ^
         ^
           ^  
             ^ x=-ba  
:::::::::::::::o:::::::::::::::o
                 ^            x
                   ^
                     ^
                       ^
                         ^
<F+>

<170>
  A partir do que foi visto, podemos analisar o comportamento das funes.
  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Dada a funo y=x-5, vamos obter os valores reais de x para os quais:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0

 Clculo do zero da funo:
 x-5=0 :> x=5
 Como a=1>0, a funo  crescente.
 Desses dois fatos, temos o esboo do grfico a seguir.

<F->
                         ^ y>0
                       ^ 
                     ^
                   ^  
      `(x<5`)     ^   `(x>5`)
:::::::::::::::o:::::::::::::::o
             ^ 5               x
           ^     y=0
         ^         
       ^
y<0 ^
<F+>

 Analisando o grfico, escrevemos:
 a) y=0 para x=5.
 b) y>0 para todo x real, tal que x>5 ou y>0 para o intervalo ~lx,_r,x>5_,.
 c) y<0 para todo x real, tal que x<5 ou y<0 para o intervalo ~lx,_r,x<5_,.

<p>
 2- Dada a funo y=-3x+5, vamos obter os valores reais de x para os quais:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0

 Clculo do zero da funo:
 -3x+5=0 :> -3x=-5 :> 3x=5 :> x=53
 Como a=-3<0, a funo  decrescente.
 Desses dois fatos, temos o esboo do grfico:

<F->
y>0 ^
       ^
         ^
           ^   
  `(x<#?c`)    ^      `(x>#?c`)
:::::::::::::::o:::::::::::::::o
           53 ^            x
       y=0        ^
                     ^
                       ^
                         ^ y<0
<F+>

<p>
 a) y=0 para x=53.
 b) y>0 para o intervalo 
  ~lx,_r,x<53_,.
 c) y<0 para o intervalo 
  ~lx,_r,x>53_,.
<R->

 Exerccio

  D, para cada uma das seguintes funes, os valores reais de x para os quais se tem y=0, y>0 e y<0.
 a) y=x-6 
 b) y=x+7
 c) y=-x-1 
 d) y=6x-6 
 e) y=2x-3 
 f) y=10-2x 
 g) y=-3x-12
 h) y=12x-3

<171>
<p>
 Retomando o que aprendeu

<R+>
 _`[Para os exerccios a seguir, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. Localize, no mesmo plano cartesiano, os
pontos:
 a) M `(-2,#e`) 
 b) N `(-4,-1`)  
 c) P `(5,-4`)
 d) Q `(7,#j`)

 2. Desenhe o quadriltero que tem como vrtices os pontos A `(-4,#a`), B `(-4,-2`), C `(2,-2`) e D `(2,#a`). Feito o desenho, responda:
 a) Qual quadriltero voc desenhou no plano cartesiano?
 b) Qual a rea desse quadriltero?

 3. Use um papel milimetrado para desenhar um quadriltero cujos vrtices so os pontos P `(0,#b`), Q `(4,#j`), R `(8,#b`) e S `(4,#d`). Qual o tipo desse quadriltero?
 4. Um quadrado tem seus vrtices nos pontos A `(3,#c`), B `(0,#c`), C `(0,#j`) e D `(3,#j`). Desenhe esse quadrado e determine o seu permetro.

 5. Uma funo  definida pela lei y=1-7x, sendo x um nmero real qualquer. Nessas condies, responda:
 a) Qual  a imagem do nmero real -3 dada por essa funo?
 b) Qual  a imagem do nmero 0,2 dada por essa funo?
 c) Qual o nmero real x cuja imagem dada por essa funo  -41?

 6. A tarifa de uma corrida de txi  composta
de duas partes: uma parte fixa, chamada
bandeirada, e uma parte correspondente ao
nmero de quilmetros que o txi percorre.
No txi do 
  Bruno a parte fixa ou bandeirada
corresponde a 2 reais, e o preo do quilmetro
percorrido  0,53 real. Sendo y o preo a pagar
pela corrida e x o nmero de quilmetros
percorridos, a tarifa final passa a ser definida
pela funo y=2+0,53x. Nessas condies:
 a) Quanto custar uma corrida de 16 km no txi do Bruno?
 b) Quantos quilmetros Bruno percorreu com o seu txi, em uma corrida de 8,36 reais?

 7. A figura a seguir mostra o grfico da funo y=x-3.

<F->
   y_                
    _               ^
    _             ^  
    _           ^  
::::w:::::::::o::::::::::::::o
  0_       ^3             x
    _     ^
    _   ^
    _ ^
-3 o
  ^_
<F+>
<L>
 Nessas condies, responda:
 a) Para qual valor real de x temos y=0?
 b) Para quais valores reais de x vamos ter valores positivos de 
  y `(y>0`)?
 c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de 
  y `(y<0`)?

<F->
   y_
    _
^  _
  ^_ 
  2o 
    _ ^
    _   ^  
    _     ^   
::::w:::::::o:::::::::::::::o
  0_       2^            x
    _           ^
<F+>

 8. A figura a seguir mostra o grfico da funo y=-x+2. 
  Nessas condies, responda:
 a) Para qual valor real de x temos y=0?
 b) Para quais valores reais de x vamos ter valores positivos de 
  y `(y>0`)?
 c) Para quais valores reais de x vamos ter valores negativos de 
  y `(y<0`)?

 9. Determine algebricamente os zeros das seguintes funes:
 a) y=x-7 
 b) y=4+8x 
 c) y=3x-2
 d) y=12x+5

 10. D, para cada uma das funes a seguir, os valores reais de x para os quais se tem y=0, y>0 e y<0
 a) y=x-9 
 b) y=-5x+20  
 c) y=14x+2
 d) y=-2x+6

               oooooooooooo
<172>
<p>
 Unidade 6

 Funo Polinomial do 2 Grau (ou Funo Quadrtica)
<R->

  Parbola  um tipo de narrativa.
  E  tambm um tipo de curva.

  Veja algumas curvas que lembram uma parbola.

<R+>
 _`[{foto 1_`]
 Legenda: Viaduto no Arizona, nos EUA.

 _`[{foto 2: Monumento em forma de arco_`]
 Legenda: Monumento em 
  Missouri, nos EUA.
<R->

 Pra voc pensar, sem se cansar!

  A soma dos trs primeiros nmeros inteiros positivos  6.
<p>
  E a soma dos 100 primeiros?
  E a dos 1.000 primeiros?

               ::::::::::::::::::::::::

<173>
<R+>
 35 -- Funo polinomial do 2 grau (ou funo quadrtica)
<R->

  Voc sabe qual  a soma dos 7 primeiros nmeros inteiros positivos?
  Para calcular  rpido:
  S7=1+2+3+4+5+6+7, ou seja, S7=28.
  Os nmeros dados por somas como essas podem, a partir de uma disposio conveniente
de pontos, representar um tringulo. Por isso, esses nmeros so conhecidos como
nmeros triangulares.

<p>
 !::::::::::::::::::::::::::
 l x  _    formao    _ Sx _
 l    _   triangular   _      _
 r::::w::::::::::::::::w::::::w
 l 1 _       o       _ 1   _
 l 2 _      oo      _ 3   _
 l 3 _     ooo     _ 6   _
 l 4 _    oooo    _ 10  _
 l 5 _   ooooo   _ 15  _
 l 6 _  oooooo  _ 21  _
 l 7 _ ooooooo _ 28  _
 h::::j::::::::::::::::j::::::j

  Veja, no quadro, que a cada valor de x corresponde um nico valor de Sx, soma dos x
primeiros nmeros inteiros positivos.
  E para obter a soma dos 100 primeiros nmeros inteiros positivos, voc acha que 
rpido?
  Conta-se que um professor de Gauss, um dos grandes matemticos que a humanidade
conheceu, achava que no. Tanto achava que teria pedido aos alunos o clculo de S100, num
dia em que eles estavam bastante agitados. Imaginou que esse clculo os manteria quietos
por um bom tempo. Mas eis que, em poucos minutos, o menino Gauss levara ao mestre a
resposta correta: cinco mil e cinquenta!
  Veja como Gauss raciocinou:

<R+>
 S100=1+2+3+4+...+97+98+
  +99+100 :> 100 parcelas
 S100=100+99+98+97+...+4+
  +3+2+1 :> 100 parcelas

 S100+S100=2S100=101+
  +101+101+101+...+101+101+
  +101+101 :> 100 parcelas
 2S100=100101
 S100=?100101*2
 S100=?100`(100+1`)*2 :> S100=5.050
<R->

<174>
  O raciocnio de Gauss, aplicado para a soma dos x primeiros nmeros inteiros positivos,
nos faz associar a cada nmero x um nico nmero y dado por:

<p>
<R+>
 y=?x`(x+1`)*2 ou y=x22+x2 -- polinmio do 2 grau na varivel x
<R->

  Se observarmos a figura a seguir, veremos que a rea y do retngulo A{b{c{d  dada em
funo da medida x indicada na figura.

<F->
        x           7
     k<:::::>k<:::::::::::::>k
  D k      k               k C
   --!:::::::::::::::::::::
   k l      _               _
 x k l  1  _      2       _
   u-l      _               _
   --r::::::w:::::::::::::::w
   k l      _               _
   k l      _               _
4 k l  3  _      4       _
   k l      _               _
   k l      _               _
   cch::::::j:::::::::::::::j
   A                       B
<F+>

<p>
<R+>
 rea do retngulo A{b{c{d = rea de 1 + rea de 2 + rea de 3 + rea de 4.

 y=xx+7x+4x+74
 y=x2+7x+4x+28
 y=x2+11x+28 -- polinmio do 2 grau na varivel x
<R->

  Observe que nas duas sentenas matemticas apresentadas anteriormente o 2 membro que
define a funo  um polinmio do 2 grau na varivel x.
  De modo geral:

  Funo polinomial do 2 grau ou funo quadrtica  toda funo definida pela sentena
matemtica y=ax2+bx+c, com *a*, *b* e *c* nmeros reais e a=0.

  Assim, so funes polinomiais do 2 grau:
 o y=x2+2x-8 
 o y=-x2+9x-18 
 o y=x2-9 
 o y=4x2-4x+1 
 o y=-2x2+6
 o y=-3x2-2x+1

<175>
  Considerando as definies dadas e os conhecimentos que voc j tem, acompanhe os
exemplos a seguir.

<R+>
 1- Dado o nmero real 7, calcular a imagem desse nmero pela funo que  dada por
y=3x2-
  -4x+1.
  Nesse caso, temos x=7.
  Fazemos, ento:
 y=3`(7`)2-4`(7`)+1 :> y=147-28+1 :> y=120
 Logo, a imagem do nmero real 7, pela funo dada,  120.

 2- Dada a funo definida por y=x2+5x-4, determinar os nmeros reais cujas imagens
por essa funo sejam iguais a 20.
  Nesse caso, temos y=20.
  Da, podemos escrever: 
 x2+5x-4=20 :> x2+5x-4-
  -20=0 :> x2+5x-24=0

 Vamos, ento, resolver a equao do 2 grau x2+5x-24=0.
 Nessa equao, temos:
 a=1 b=5 c=-24
 d=b2-4ac=`(5`)2-4`(1`)
  `(-24`)=25+96=121
 x=?-b+:-d*2a=?-`(5`)+:-
  +:-121*?2`(1`)*=
  =?-5+:-11*2
 x=?-5+11*2=62=3
 x=?-5-11*2=-162=-8
 Logo, para y=20, temos x=-8 ou x=3.

 Exerccios

 1. O volume y do paraleleppedo  dado em
funo da medida x indicada na figura. Qual  a
sentena matemtica que define essa funo?

 _`[{medidas do paraleleppedo: profundidade -- 1; largura -- x+1; altura -- x_`]

 2. A rea y do retngulo R{s{q{p da figura  dada
em funo da medida x. Escreva no caderno a
sentena matemtica que define essa funo.

<F->
  R    6     x  S
   !:::::::::::::
2 l         _    _
   r:::::::::w::::w
   l         _    _
 x l         _    _
   h:::::::::j::::j
  P              Q
<F+>

<176>
 3. A rea y da regio colorida
de roxo no quadrado _`[no adaptado_`]
 dada em funo da
medida x. Escreva a lei que
define a funo dada por
essa relao.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 4. Dada a funo y=x2-15x+
  +26, determine
a imagem do nmero real 10 por essa funo.
<p>
 5. Dada a funo y=6x2-x-3, qual  a
imagem do nmero real 12 por essa funo?

 6. Usando a sentena matemtica y=?x`(x+1`)*2, 
que foi descrita na 1 situao
deste captulo, calcule:
 a) a soma y dos 1.000 primeiros nmeros inteiros
positivos.
 b) o nmero inteiro positivo para que a soma y
seja igual a 66.

 7. A soma y dos x primeiros nmeros mpares
positivos  uma funo definida pela lei y=x2.
 a) Calcule a soma dos 100 primeiros nmeros
mpares positivos.
 b) Calcule a quantidade dos primeiros nmeros
mpares positivos cuja soma  256.
 c) Qual  a maior parcela (nmero mpar) da
adio referente ao item *b*?

<p>
 Desafios!
 
 Quadrados na funo quadrtica
<R->

  Observe a sequncia de figuras _`[no adaptadas_`]:

 Chegou a sua vez!

<R+>
 _`[{para as atividades de 1 a 3, pea orientao ao professor_`]

 1. Copie e complete, no caderno, a tabela a seguir para saber como podemos calcular a quantidade
de quadradinhos de qualquer uma das figuras dessa sequncia.

 _`[{tabela adaptada em 4 colunas_`]
 Legenda:
 1 coluna: Figura
 2 coluna: Total de quadradinhos
 3 coluna: Quadradinhos roxos
 4 coluna: Quadradinhos azuis

<p>
 !:::::::::::::::::::::::::::
 l    1     _ 2 _ 3 _ 4 _
 r::::::::::::w:::::w:::::w:::::w
 l Figura 1 _ 1  _ 1  _ 0  _
 l Figura 2 _ 4  _ 2  _ ... _
 l Figura 3 _ 9  _ ... _ 6  _
 l Figura 4 _ 16 _ ... _ ... _
 l Figura 5 _ 25 _ ... _ ... _
 l Figura 6 _ ... _ ... _ ... _
 l Figura 7 _ ... _ ... _ ... _
 l Figura 8 _ ... _ ... _ ... _
 h::::::::::::j:::::j:::::j:::::j

 2. A figura *n* tem:
 a) quantos quadradinhos ao todo? 
 b) quantos quadradinhos roxos?
 c) quantos quadradinhos azuis?

 3. Escreva a lei de formao que fornece a quantidade y de 
quadradinhos azuis em funo do nmero *n* da figura.

               ::::::::::::::::::::::::

<177>
<p>
 36 -- Grfico da funo 
  quadrtica
<R->

  Na unidade anterior, vimos que o grfico de uma funo polinomial do 1 grau, dada por
y=ax+b, para x,_r,  uma reta.
  Agora, conheceremos a figura que representa o grfico de uma funo polinomial do
2 grau ou funo quadrtica.
  Veja os exemplos:
 
<R+>
 1- Construir, no plano cartesiano, o grfico da funo y=x2-4, sendo x qualquer nmero
real.
  Inicialmente, vamos atribuir alguns valores reais arbitrrios para x, como os
valores -3, -2, 0, 2, 3.
  Compondo a tabela para determinar os pares `(x,y`), temos:
<R->

<p>
 !::::::::::::::::::::
 l x   _ y   _ `(x,y`)    _
 r:::::w:::::w::::::::::w
 l -3 _ 5  _ `(-3,#e`) _
 l -2 _ 0  _ `(-2,#j`) _
 l 0  _ -4 _ `(0,-4`) _
 l 2  _ 0  _ `(2,#j`)  _
 l 3  _ 5  _ `(3,#e`)  _
 h:::::j:::::j::::::::::j

  Agora, precisamos localizar esses
pontos no plano cartesiano.
  O conjunto de todos os pontos
`(x,y`), com x real e y=x2-4,  o
grfico da funo. Esse grfico _`[no adaptado_`] 
 representado por uma curva chamada
parbola. O ponto V, que voc observa
na figura, chama-se vrtice da
parbola.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<178>
<R+>
 2- Construir, no plano cartesiano, o grfico da funo y=-x2+4x, sendo x um nmero real
qualquer.
  Inicialmente, vamos montar a tabela para determinar alguns pontos `(x,y`):
<R->

 !:::::::::::::::::::::::
 l x _ 0 _ 1 _ 2 _ 3 _ 4 _
 r:::w::::w::::w::::w::::w::::w
 l y _ 0 _ 3 _ 4 _ 3 _ 0 _
 h:::j::::j::::j::::j::::j::::j

  Localizando esses pontos no plano cartesiano, temos:

 _`[{grfico no adaptado_`]

  O conjunto de todos os pontos `(x,y`) com
x real e y=-x2+4x, que  o grfico da funo,
nos d a parbola da figura a seguir 
 _`[no adaptada_`].
  Observe, novamente, o ponto V, que  o
vrtice da parbola.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Observao:
  Nos exemplos dados, cada parbola possui um ponto V (um vrtice), cujas coordenadas
passaremos a indicar por `(xv,yv`).
   possvel demonstrar que o vrtice de uma parbola pode ser obtido fazendo:

<R+>
 o xv=-b2a
 -b -- coeficiente do termo x
 a -- coeficiente do termo x2

 o yv=axv2+bxv+c
<R->

  No 1 exemplo `(y=x2-4`), vimos que V `(0,-4`). Pela relao:

<R+>
xv=-b2a=-`(0`)?2`(1`)*=
  =02=0
 -b -- coeficiente do termo x
 a -- coeficiente do termo x2
 yv=xv2-4=`(0`)2-4=-4
 Logo, V `(0,-4`).
<R->

<p>
  No 2 exemplo `(y=-x2+4x`), vimos que V `(2,#d`). Pela relao:

<R+>
xv=-b2a=-`(4`)?2`(-1`)*=
  =-4-2=2
 yv=-xv2+4xv=-22+4`(2`)=
  =-4+8=4
 Logo, V `(2,#d`).
<R->

<179>
  Observando, agora, o grfico da funo _`[no adaptado_`],
y=x2+2x-3, temos que V `(-1,-4`).

<R+>
 xv=-b2a=-`(2`)?2`(1`)*=
  =-22=-1
 yv=xv2+2xv-3=`(-1`)2+
  +2`(-1`)-3=1-2-3=-4
 Logo, V `(-1,-4`).
<R->

<p>
  O vrtice tem um papel importante na parbola,
conforme veremos mais adiante.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 Exerccios

<R+>
 1. Determine as coordenadas `(x,y`) do vrtice da parbola que representa cada uma das seguintes
funes:
 a) y=x2+6x+8 
 b) y=x2-2x-8 
 c) y=-x2+8x-15 
 d) y=-4x2+6x 
 e) y=x2+6x+11 
 f) y=-x2+36 
 g) y=-x2+7x-10
 h) y=x2-10x+24
 i) y=2x2-4x-1
 j) y=-4x2-2x

 2. (UMC-SP) Uma loja fez campanha publicitria para vender
seus produtos importados. Suponha que x dias aps o trmino
da campanha as vendas dirias tivessem sido calculadas segundo
a funo y=-2x2+20x+
  +150, conforme o grfico _`[no adaptado_`].
 a) Depois de quantos dias `(xv`), aps encerrada a campanha, a
venda atingiu o valor mximo?
 b) Depois de quantos dias as vendas se reduziram a zero `(y=0`)?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
 Como construir o grfico de uma funo quadrtica no plano 
  cartesiano
<R->

  Construir o grfico de uma funo quadrtica no plano cartesiano no  to simples
como construir a reta, que  o grfico de uma funo do 1 grau.
  Na construo de uma parbola,  conveniente seguir um planejamento para se obter
de forma precisa o grfico desejado. Veja o roteiro a seguir.

<R+>
 A -- Determinar as coordenadas do vrtice: V `(xv,yv`).
 B -- Organizar uma tabela atribuindo  varivel x alguns valores menores que xv e alguns valores maiores que xv.
 C -- Marcar, no plano cartesiano, os pontos `(x,y`) determinados.
 D -- Unir esses pontos e construir a parbola.
<R->

<180>
  Seguindo esse roteiro, vamos construir os grficos, no plano cartesiano, de algumas
funes quadrticas. Observe os exemplos:

<R+>
 _`[{nos quatro exemplos a seguir, os grficos dos itens *c* e *d* no foram adaptados_`]

 1- Construir, no plano cartesiano, o grfico da funo quadrtica y=x2+2x-3, sendo
x um nmero real qualquer.

 A -- Inicialmente, determinamos as coordenadas do vrtice.
 xv=-b2a=-`(2`)?2`(1`)*=
  =-22=-1
 yv=xv2+2xv-3=`(-1`)2+2
  `(-1`)-3=1-2-3=-4
 V `(-1,-4`)

 B -- Organizamos a tabela:

 !::::::::::
 l  x  _  y  _
 r:::::w:::::w
 l -3 _ 0  _
 l -2 _ -3 _
 l -1 _ -4 _
 l 0  _ -3 _
 l 1  _ 0  _
 h:::::j:::::j

 C -- Marcamos os pontos:
 D -- Construmos o grfico:

<p>
 2- Construir o grfico da funo y=-x2+4x-5, sendo x um nmero real qualquer.  

 A -- Determinamos as coordenadas do vrtice:
 xv=-b2a=-`(-4`)?2`(-1`)*=
  =-4-2=2
 yv=-xv2+4xv-5=-`(2`)2+4
  `(2`)-5=-1
 V `(2,-1`)

 B -- Organizamos a tabela:

 !:::::::::
 l  x _  y  _
 r::::w:::::w
 l 0 _ -5 _
 l 1 _ -2 _
 l 2 _ -1 _
 l 3 _ -2 _
 l 4 _ -5 _
 h::::j:::::j

 C -- Marcamos os pontos:
 D -- Construmos o grfico:

<181>
<p>
 3- Vamos construir o grfico da funo y=x2-4x+4, com x,_r.

 A -- Determinamos as coordenadas do vrtice:
 xv=-b2a=-`(-4`)?2`(1`)*=
  =42=2
 yv=xv2-4xv+4=`(2`)2-4
  `(2`)+4=0
 V `(2,#j`)

 B -- Organizamos a tabela:

 !::::::::
 l x  _ y  _
 r::::w::::w
 l 0 _ 4 _
 l 1 _ 1 _
 l 2 _ 0 _
 l 3 _ 1 _
 l 4 _ 4 _
 h::::j::::j

 C -- Marcamos os pontos:
 D -- Contrumos o grfico:

<p>
 4- Construir o grfico da funo quadrtica y=-x2-2x+3, com x,_r.

 A -- Determinamos as coordenadas do vrtice:
 xv=-b2a=-`(-2`)?2`(-1`)*=
  =2-2=-1
 yv=-xv2-2xv+3=-`(-1`)2-2
  `(-1`)+3=4
 V `(-1,#d`)

 B -- Organizamos a tabela:

 !:::::::::
 l  x  _ y  _
 r:::::w::::w
 l -3 _ 0 _
 l -2 _ 3 _
 l -1 _ 4 _
 l 0  _ 3 _
 l 1  _ 0 _
 h:::::j::::j

 C -- Marcamos os pontos:
 D -- Contrumos o grfico:
<R->

<182>
<p>
 Exerccio

  Para cada uma das seguintes funes, d as coordenadas do vrtice, organize uma tabela conveniente
e construa o grfico no plano cartesiano, sendo x um nmero real qualquer.
 a) y=x2-1 
 b) y=-x2
 c) y=x2+2x-8 
 d) y=x2-2x 
 e) y=x2-2x+4
 f) y=-x2+6x-9

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
 37 -- Zeros da funo polinomial do 2 grau
<R->

  Dada a funo definida por 
 y=ax2+bx+c, os valores reais de x para os quais se tem
y=0 (ou ax2+bx+c=0) so denominados zeros da funo quadrtica.
  Algebricamente, os zeros da funo quadrtica so obtidos quando resolvemos a equao
do 2 grau ax2+bx+c=0. O discriminante `(d`) da equao , tambm, o discriminante
da funo, assim:

<R+>
 o Quando d>0, a funo 
  y=ax2+bx+c tem dois zeros reais diferentes.
 o Quando d=0, a funo 
  y=ax2+bx+c tem um nico zero real.
 o Quando d<0, a funo 
  y=ax2+bx+c no tem zeros reais.
<R->

  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Determinar os zeros da funo y=x2+2x-3.
 x2+2x-3=0
 a=1 b=2 c=-3
 d=b2-4ac=`(2`)2-4`(1`)
  `(-3`)=4+12=16
<p>
 x=?-b+:-d*2a=?-2+:-16*
  ?2`(1`)*=?-2+:-4*2
 x=?-2+4*2=22=1
 x=?-2-4*2=-62=-3
 Como d=16>0, a funo tem dois zeros reais, que so os nmeros 1 e -3.

 2- Determinar os zeros da funo y=-x2+4x-5.
 -x2+4x-5=0
 a=-1 b=4 c=-5
 d=b2-4ac=`(4`)2-4`(-1`)
  `(-5`)=16-20=-4
 Como d=-4<0, a funo no tem zeros reais.

<183>
 3- Determinar os zeros da funo y=x2-4x+4.
 x2-4x+4=0
 a=1 b=-4 c=4
 d=b2-4ac=`(-4`)2-4`(1`)
  `(4`)=16-16=0
 x=-b2a=-`(-4`)?2`(1`)*=
  =42=2
 Como d=0, a funo tem um nico zero real, que  o nmero 2.
<R->

  Geometricamente, os zeros da funo correspondem aos valores de x nos pontos de
interseco da parbola com o eixo x, pois nesses pontos tem-se y=0.

<R+>
 _`[{os trs grficos dos itens a seguir no foram adaptados_`]

 o No grfico da funo y=x2+2x-3, com x,_r, a parbola corta o eixo x em dois
pontos.
 o No grfico da funo y=-x2+4x-5,
a parbola no corta o eixo x. Nesse
caso, a funo no tem zeros reais.
 o No grfico da funo y=x2-4x+4, a
parbola tangencia o eixo x, isto , tem um
nico ponto em comum com esse eixo.
<R->

<184>
  Essas condies tm relao com o discriminante d:

<p>
<R+>
 o Quando d>0, a parbola corta o eixo x em dois pontos distintos.
 o Quando d<0, a parbola no corta o eixo x.
 o Quando d=0, a parbola e o eixo x tm apenas um ponto em 
  comum, ou seja, a parbola tangencia o eixo x.
<R->

  Podemos fazer um resumo dessas condies, usando esboos dos grficos de funes
quadrticas _`[no adaptados_`]:

<R+>
 d>0 -- A parbola corta o eixo x em 2 pontos.
 d<0 -- A parbola no corta o eixo x.
 d=0 -- A parbola tangencia o eixo x.
<R->

  Acompanhe mais estes exemplos:

<R+>
 1- Verificar se a parbola que corresponde ao grfico da funo y=x2-3x-4 corta ou
no o eixo x.
 x2-3x-4=0
 a=1 b=-3 c=-4
 d=b2-4ac=`(-3`)2-4`(1`)
  `(-4`)=9+16=25
 Como d>0, temos:
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-3`)+:-
  +:-25*?2`(1`)*=?3+:-5*2
 x=?3+5*2=82=4
 x=?3+5*2=-22=-1
 Sendo d>0, a parbola corta o eixo x nos pontos de coordenadas `(-1,#j`) e `(4,#j`).

<185>
 2- A parbola que representa o grfico da funo y=-x2+5x-
  -10 corta ou no o eixo x?
 -x2+5x-10=0
 x2-5x+10=0
 a=1 b=-5 c=10
 d=b2-4ac=`(-5`)2-4`(1`)
  `(10`)=25-40=-15<0
 Como d<0, a parbola no corta o eixo x.

<p>
 Exerccios

 1. Determine, algebricamente, os zeros de cada uma das seguintes funes do 2 grau:
 a) y=x2-25 
 b) y=x2-10x+21 
 c) y=-x2+6x 
 d) y=x2+4x+8 
 e) y=-x2+x+6 
 f) y=9x2-1 
 g) y=-4x2+4x-1
 h) y=6x2+6x

 2. Verifique se a parbola que representa o grfico de cada uma das seguintes funes corta ou no o eixo x:
 a) y=x2-2x-24 
 b) y=x2-6x+9 
 c) y=-x2+9x-14 
 d) y=x2-7x+13

 3. Sem fazer o grfico, determine as coordenadas `(x,y`) dos pontos em que a parbola que repre-
<p>
  senta
o grfico de cada uma das funes a seguir corta o eixo x.
 a) y=x2-16 
 b) y=-x2+12x-36 
 c) y=3x2-21x

               ::::::::::::::::::::::::

 38 -- Estudando a concavidade da parbola
<R->

  Considere as seguintes funes quadrticas e os esboos dos grficos _`[no adaptados_`] de cada uma delas:

 y=x2-9
 y=2x2-3x+1
 y=4x2-4x+1

  Observe nessas funes que a>0 e que a parbola tem a concavidade voltada para cima.

<186>
  Considere mais estas funes quadrticas e os respectivos esboos dos grficos _`[no adaptados_`] que as representam:
<L>
 y=-x2+4x
 y=-x2+4x-5
 y=-x2+10x-25

  Observe nessas funes que a<0 e que a parbola tem a concavidade 
voltada para baixo.
  De modo geral, temos:

  Quando a>0, a parbola tem a concavidade voltada para cima.
  Quando a<0, a parbola tem a concavidade voltada para baixo.

 Execcios

<R+>
 1. Sem fazer o grfico e observando apenas o coeficiente *a*, verifique se a parbola que representa
o grfico de cada uma das seguintes funes tem a concavidade voltada para cima ou para baixo.
 a) y=x2-7x+10 
 b) y=3x2-7x+4 
 c) y=-x2+25 
 d) y=-6x2+x+1 
 e) y=-x2-14x-49
 f) y=7x2-2x

 2. Os esboos _`[no adaptados_`] representam grficos de funes quadrticas definidas pela lei
y=ax2+bx+c, com a=0 e x,_r. Para cada esboo, escreva no caderno a condio do coeficiente
*a* e do d.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<187>
 39 -- Ponto de mnimo e ponto de mximo
<R->

  Observe o grfico da funo y=x2+2x-3, em que a>0:

  Percorrendo o grfico _`[no adaptado_`] 
da esquerda para a direita, notamos que
os valores de y vo diminuindo at
atingir o vrtice. Depois, esses valores
vo aumentando. Nesse caso,
dizemos que o vrtice  o ponto de
mnimo da funo. Note que existe
um menor valor para y, que corresponde
ao yV.

  Agora, veja este grfico da funo y=-x2+4x-5, em que a<0:

  Percorrendo o grfico _`[no adaptado_`], da esquerda
para a direita, notamos que
os valores de y vo aumentando
at atingir o vrtice. Depois, os
valores de y vo diminuindo. Nesse
caso, dizemos que o vrtice 
o ponto de mximo da funo.
Note que existe um maior valor
para y, que  o yv.

  De modo geral, temos:

<R+>
 o Quando a>0, a funo 
  y=ax2+bx+c tem um valor mnimo, e o vrtice  o ponto de mnimo.
<p>
 o Quando a<0, a funo 
  y=ax2+bx+c tem um valor mximo, e o vrtice  o ponto de mximo.  
<R->

<188>
  Acompanhe os exemplos a seguir.
<R+>

 1- A funo y=x2-3x-18 tem ponto de mnimo ou ponto de mximo? Dar as coordenadas
desse ponto.
  Pela funo dada, a=1>0. Portanto, essa funo tem um ponto de mnimo, cujas
coordenadas so:
 xv=-b2a=-`(-3`)?2`(1`)*=32
 yv=xv2-3xv-18=`(32`)2-
  -3`(32`)-18=94-92-18
 yv=?9-18-72*4=-814

 A funo tem ponto de mnimo de coordenadas `(32,-814`). Nesse caso, o valor
mnimo da funo  -814, que corresponde ao yv.

<p>
 2- A funo y=-x2-2x+24 tem ponto de mnimo ou ponto de mximo? Dar as coordenadas
desse ponto.
  Como na funo dada a=-1<0, essa funo tem um ponto de mximo, cujas
coordenadas so:
 xv=-b2a=-`(-2`)?2`(-1`)*=
  =2-2=-1
 yv=-xv2-2xv+24=-`(-1`)2-
  -2`(-1`)+24=-1+2+24=25

 A funo tem ponto de mximo de coordenadas `(-1,#be`). Nesse caso, o valor mximo
da funo  25 (que  o yv).

 Exerccios

 1. Verifique se cada uma das seguintes funes
tem ponto de mnimo ou ponto de mximo
e d as coordenadas
desse ponto.
 a) y=x2-8x+6
 b) y=-x2+4x+5
 c) y=-6x2+6x
 d) y=x2-16
 e) y=x2-4x-45
 f) y=3x2+6x
 g) y=-x2+9
 h) y=5x2-8x+3

 2. Sabe-se que a funo y=3x2-6x-2 tem
um ponto de mnimo. Quais so as coordenadas
desse ponto de mnimo?
 3. Um dardo  lanado da origem, segundo
um determinado referencial, e percorre a trajetria
de uma parbola. A funo que representa
essa parbola  y=-x2+4x. Quais so as
coordenadas do ponto onde esse dardo atinge
sua altura mxima?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quarta Parte